เฮ้ ในฐานะที่เป็นซัพพลายเออร์จุดแก้ไขฉันมักจะหลงใหลในการเชื่อมต่อระหว่างทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไข - จุดและสมการเชิงอนุพันธ์ มันเป็นหัวข้อที่ยอดเยี่ยมที่มีแอปพลิเคชันของโลกจริงและฉันรู้สึกตื่นเต้นที่จะแบ่งปันกับคุณ
ดังนั้นเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไข - ชี้ เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทการทำแผนที่การหดตัว กล่าวง่ายๆว่าหากคุณมีการทำแผนที่การหดตัวในพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์นั้นจะมีจุดคงที่หนึ่งจุด การทำแผนที่การหดตัวเป็นฟังก์ชั่นที่นำคะแนนเข้ามาใกล้กันมากขึ้น ในทางคณิตศาสตร์ถ้า (t: x \ rightarrow x) คือการทำแผนที่ในพื้นที่เมตริก (((x, d)) และมีค่าคงที่ (k \ in [0, 1)) เช่นนั้น (d (t (x), t (y)) \ leq kd (x, y))
ตอนนี้สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับสมการเชิงอนุพันธ์อย่างไร สมการเชิงอนุพันธ์จำนวนมากสามารถปรับเปลี่ยนเป็นสมการอินทิกรัล ลองใช้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญก่อน - คำสั่งซื้อ (ODE) ของแบบฟอร์ม (\ frac {dy} {dt} = f (t, y)) ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้น (y (t_0) = y_0) เราสามารถเขียนบทกวีนี้ใหม่เป็นสมการอินทิกรัลโดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส การแก้ปัญหา (y (t)) เป็นไปตาม (y (t) = y_0+\ int_ {t_0}^{t} f (s, y (s)) ds)
เราสามารถนึกถึงสมการอินทิกรัลนี้เป็นปัญหาจุดคงที่ กำหนดตัวดำเนินการ (t) เช่นนั้น ((ty) (t) = y_0+\ int_ {t_0}^{t} f (s, y (s) ds) เป้าหมายคือการหาฟังก์ชัน (y) เช่นนั้น (ty = y) ซึ่งหมายถึง (y) เป็นจุดคงที่ของผู้ประกอบการ (t)
ในการใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไข - ชี้เราต้องแสดงให้เห็นว่า (t) เป็นการทำแผนที่การหดตัวในพื้นที่เมตริกที่สมบูรณ์แบบที่เหมาะสม ตัวอย่างเช่นเราสามารถพิจารณาพื้นที่ (c ([a, b])) ของฟังก์ชั่นต่อเนื่องในช่วงเวลา ([a, b]) กับบรรทัดฐาน supremum (| y | = \ sup_ {t \ in [a, b]} | y (t) |)
สมมติว่า (f (t, y)) เป็นไปตามเงื่อนไข Lipschitz ด้วยความเคารพ (y), เช่นมีค่าคงที่ (l) เช่นนั้น (| f (t, y_1) -f (t, y_2) | \ leq l | y_1 - y_2 |) สำหรับทุกคน (t \ in [a, b] จากนั้นสำหรับสองฟังก์ชั่นใด ๆ (y_1, y_2 \ in c ([a, b])) เรามี:
-
\ เริ่ม {จัดตำแหน่ง*}
| (ty_1) (t) - (ty_2) (t) | & = \ left | \ int_ {t_0}^{t} (f (s, y_1 (s)) - f (s, y_2 (s))) ds \ ขวา | \
& \ leq \ int_ {t_0}^{t} | f (s, y_1 (s)) - f (s, y_2 (s)) | ds \
& \ leq l \ int_ {t_0}^{t} | y_1 (s) -y_2 (s) | ds \
& \ leq l | t - t_0 || y_1 - y_2 |
\ end {จัดตำแหน่ง*}
-
ถ้าเราเลือกช่วงเวลาเล็ก ๆ พอ ([t_0, t_0 + h]) เช่นนั้น (lh <1), จากนั้น (| ty_1 - ty_2 | \ leq lh | y_1 - y_2 |) และ (t) คือการแมปหดตัว (C ([t_0, t_0 + h]) โดย banach คงที่ - ทฤษฎีบทชี้มีจุดคงที่ที่ไม่ซ้ำกัน (y \ in c ([t_0, t_0 + h])) ของ (t) ซึ่งเป็นทางออกที่ไม่ซ้ำกันของสมการอินทิกรัล
สิ่งนี้มีประโยชน์มากในทางปฏิบัติ เมื่อเราจัดการกับระบบทางกายภาพที่จำลองโดยสมการเชิงอนุพันธ์เรามักจะต้องการทราบว่ามีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใครหรือไม่ ทฤษฎีบท Banach ที่ได้รับการแก้ไข - จุดให้เราเป็นวิธีที่จะพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา
ในฐานะผู้จัดหาจุดแก้ไขฉันเห็นแนวที่น่าสนใจ เช่นเดียวกับวิธีที่ Banach คงที่ - ทฤษฎีบทชี้ช่วยให้เราค้นหาทางออกที่เป็นเอกลักษณ์ในโลกของสมการเชิงอนุพันธ์เราที่ บริษัท ของเรามุ่งมั่นที่จะให้ผลิตภัณฑ์จุดแก้ไขที่มีคุณภาพและคุณภาพสูง ตัวอย่างเช่นเราเสนอกระจกยืนหยัดแก้ไขฮาร์ดแวร์ซึ่งเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับโครงการติดตั้งแก้วต่างๆ การแก้ไขเหล่านี้ได้รับการออกแบบให้เชื่อถือได้และแม่นยำเช่นเดียวกับโซลูชันที่เราพบโดยใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไข
ผลิตภัณฑ์ที่ยอดเยี่ยมอีกอย่างคือของเราตัวหนีบแก้วเหมาะสำหรับแก้ว 10 มม./12 มม.- พวกเขาได้รับการออกแบบทางวิศวกรรมให้พอดีอย่างสมบูรณ์แบบให้การยึดที่มั่นคงและปลอดภัยสำหรับแผงกระจก ทุกอย่างเกี่ยวกับการได้รับความพอดีที่สมบูรณ์แบบเหมือนกับการค้นหาจุดคงที่ที่แน่นอนในสมการทางคณิตศาสตร์
และอย่าลืมของเราฮาร์ดแวร์สแตนเลสสตีลสแตนเลสฮาร์ดแวร์- ความขัดแย้งเหล่านี้ทำจากสแตนเลสคุณภาพสูงเพื่อให้มั่นใจถึงความทนทานและประสิทธิภาพระยะยาว เช่นเดียวกับทฤษฎีบท Banach ที่ได้รับการแก้ไข - จุดให้รากฐานที่มั่นคงสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์การแก้ไขของเรานำเสนอฐานที่เชื่อถือได้สำหรับการติดตั้งแก้วของคุณ
ในสถานการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นเช่นสมการเชิงอนุพันธ์บางส่วน (PDEs) สามารถใช้ทฤษฎีบทจุดคงที่ - จุดได้ PDEs อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพที่หลากหลายเช่นการถ่ายเทความร้อนการไหลของของไหลและสนามแม่เหล็กไฟฟ้า ตัวอย่างเช่นสมการความร้อน (\ frac {\ partial u} {\ partial t} = \ alpha \ nabla^{2} u) สามารถรักษาได้โดยใช้วิธีการคงที่ - จุด เราสามารถเขียน PDE ใหม่เป็นสมการอินทิกรัลแล้วพยายามหาจุดคงที่ของผู้ประกอบการที่เหมาะสม
อย่างไรก็ตามการทำงานกับ PDES นั้นท้าทายกว่า ช่องว่างของฟังก์ชั่นมักจะซับซ้อนกว่าและผู้ประกอบการอาจวิเคราะห์ได้ยากขึ้น แต่ความคิดพื้นฐานยังคงเหมือนเดิม: แปลง PDE เป็นปัญหาจุดคงที่และใช้ทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไข - จุดเพื่อพิสูจน์การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของการแก้ปัญหา
ในโลกของผลิตภัณฑ์ Fix Point เรายังเผชิญกับความท้าทาย เราจำเป็นต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าผลิตภัณฑ์ของเราตรงตามมาตรฐานอุตสาหกรรมและความต้องการของลูกค้าที่แตกต่างกัน เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ต้องทำงานอย่างหนักเพื่อพิสูจน์เงื่อนไขสำหรับทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไข - ชี้ไปที่ บริษัท ของเราใช้ความพยายามอย่างมากเพื่อให้แน่ใจว่าการแก้ไขของเรามีคุณภาพสูงสุด
หากคุณอยู่ในตลาดสำหรับผลิตภัณฑ์จุดแก้ไขคุณภาพสูงเรายินดีที่จะมีการแชทกับคุณ ไม่ว่าคุณจะทำงานในโครงการ DIY ขนาดเล็กหรือการติดตั้งเชิงพาณิชย์ขนาดใหญ่เรามีการแก้ไขที่เหมาะสมสำหรับคุณ ติดต่อเราเพื่อเริ่มการสนทนาเกี่ยวกับความต้องการของคุณและมาทำงานร่วมกันเพื่อค้นหาทางออกที่สมบูรณ์แบบสำหรับโครงการของคุณ
การอ้างอิง
- Kolmogorov, An, & Fomin, SV (1970) การวิเคราะห์เบื้องต้นเบื้องต้น Dover Publications
- Walter, W. (1998) สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ Springer - Verlag
